Пособие по матрицам

Содержание:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

  1. Матрицы и определители
    1.1 Матрицы и операции над ними
    1.2 Определители и их свойства
    1.3 Обратная матрица
  2. Системы линейных алгебраических
    уравнений
    2.1 Основные понятия и
    определения
    2.2 Решение систем линейных
    алгебраических уравнений
    по формулам Крамера
    2.3 Решение систем линейных
    алгебраических уравнений
    методом Гаусса (случай однозначной разрешимости)
    2.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом
    Гаусса (общий случай). Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
    2.5 Собственные значения и собственные векторы матрицы

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

оказывает помощь студентам в выполнении контрольных работ, подготовке к зачетам и экзаменам по математике и смежным предметам.

В этом документе собраны основные сведения из алгебры матриц и векторов, которые используются в хемометрике. Приведенный текст не может служить учебником по матричной алгебре — он скорее является конспектом, справочником в этой области. Более глубокое и систематическое изложение может быть найдено в литературе.

Текст разбит на две части названные — «Базовые сведения» и «Дополнительная информация». В первой части изложены положения, минимально необходимые для понимания хемометрики, а во второй части — факты, которые необходимо знать для более глубокого постижения методов многомерного анализа. Изложение иллюстрируется примерами, выполненными в рабочей книге Excel Matrix.xls, которая сопровождает этот документ.

Ссылки на примеры помещены в текст как объекты Excel. Эти примеры имеют абстрактный характер, они никак не привязаны к задачам аналитической химии. Реальные примеры использования матричной алгебры в хемометрике рассмотрены в других текстах, посвященных разнообразным хемометрическим приложениям.

Большинство измерений, проводимых в аналитической химии, являются не прямыми, а косвенными. Это означает, что в эксперименте вместо значения искомого аналита C (концентрации) получается другая величина x (сигнал), связанная, но не равная C, т.е. x(C) ≠ С. Как правило, вид зависимости x(C) не известен, однако, к счастью, в аналитической химии большинство измерений пропорциональны. Это означает, что при увеличении концентрации С в a раз, сигнал X увеличится на столько же., т.е. x(aC) = a x(C). Кроме того, сигналы еще и аддитивны, так что сигнал от пробы, в которой присутствуют два вещества с концентрациями C1 и C2, будет равен сумме сигналов от каждого компонента, т.е. x(C1 + C2) = x(C1)+ x(C2). Пропорциональность и аддитивность вместе дают линейность. Можно привести много примеров, иллюстрирующих принцип линейности, но достаточно упомянуть два самых ярких примера — хроматографию и спектроскопию. Вторая особенность, присущая эксперименту в аналитической химии — это многоканальность. Современное аналитическое оборудование одновременно измеряет сигналы для многих каналов. Например, измеряется интенсивность пропускания света сразу для нескольких длин волн, т.е. спектр. Поэтому в эксперименте мы имеем дело со множеством сигналов x1, x2. xn, характеризующих набор концентраций C1,C2, . Cm веществ, присутствующих в изучаемой системе.

Итак, аналитический эксперимент характеризуется линейностью и многомерностью. Поэтому удобно рассматривать экспериментальные данные как векторы и матрицы и манипулировать с ними, используя аппарат матричной алгебры. Плодотворность такого подхода иллюстрирует пример, показанный на Рис. 1, где представлены три спектра, снятые для 200 длин волн от 4000 до 4796 cm −1 . Первый (x1) и второй (x2) спектры получены для стандартных образцов, в которых концентрация двух веществ A и B, известны: в первом образце [A] = 0.5, [B] = 0.1, а во втором образце [A] = 0.2, [B] = 0.6. Что можно сказать о новом, неизвестном образце, спектр которого обозначен x3?

Рассмотрим три экспериментальных спектра x1, x2 и x3 как три вектора размерности 200. Средствами линейной алгебры можно легко показать, что x3 = 0.1 x1 +0.3 x2, поэтому в третьем образце очевидно присутствуют только вещества A и B в концентрациях [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 и [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. Базовые сведения

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, например

Матрицы обозначаются заглавными полужирными буквами (A), а их элементы — соответствующими строчными буквами с индексами, т.е. aij. Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. В хемометрике принято обозначать максимальное значение индекса той же буквой, что и сам индекс, но заглавной. Поэтому матрицу A можно также записать как <aij, i = 1. I; j = 1. J>. Для приведенной в примере матрицы I = 4, J = 3 и a23 = −7.5.

Пара чисел I и J называется размерностью матрицы и обознается как I×J. Примером матрицы в хемометрике может служить набор спектров, полученный для I образцов на J длинах волн.

1.2. Простейшие операции с матрицами

Матрицы можно умножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число. Например —

Рис. 3 Умножение матрицы на число

Две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать. Например,

Рис. 4 Сложение матриц

В результате умножения на число и сложения получается матрица той же размерности.

Матрицу можно транспонировать. При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A‘ или индексом A t . Таким образом, если A = <aij, i = 1. I; j = 1. J>, то A t = <aji, j = 1. J; i = 1. I>. Например

Рис. 5 Транспонирование матрицы

1.3. Умножение матриц

Матрицы можно перемножать, но только в том случае, когда они имеют соответствующие размерности. Почему это так, будет ясно из определения. Произведением матрицы A, размерностью I×K, и матрицы B, размерностью K×J, называется матрица C, размерностью I×J, элементами которой являются числа

Таким образом для произведения AB необходимо, чтобы число столбцов в левой матрице A было равно числу строк в правой матрице B. Пример произведения матриц —

Рис.6 Произведение матриц

Правило перемножения матриц можно сформулировать так. Для того, чтобы найти элемент матрицы C, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца (cij) надо поэлементно перемножить i-ую строку первой матрицы A на j-ый столбец второй матрицы B и сложить все результаты. Так в показанном примере, элемент из третьей строки и второго столбца, получается как сумма поэлементных произведений третьей строки A и второго столбца B

Читайте так же:  Ссс требования

Рис.7 Элемент произведения матриц

Произведение матриц зависит от порядка, т.е. ABBA, хотя бы по соображениям размерности. Говорят, что оно некоммутативно. Однако произведение матриц ассоциативно. Это означает, что ABC = (AB)C = A(BC). Кроме того, оно еще и дистрибутивно, т.е. A(B+C) = AB+AC. Очевидно, что AO = O.

1.4. Квадратные матрицы

Если число столбцов матрицы равно числу ее строк (I = J = N), то такая матрица называется квадратной. В этом разделе мы будем рассматривать только такие матрицы. Среди этих матриц можно выделить матрицы, обладающие особыми свойствами.

Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.

Матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных (aii) равны нулю. Например

Рис. 8 Диагональная матрица

Матрица A называется верхней треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. aij = 0, при i>j. Например

Рис. 9 Верхняя треугольная матрица

Аналогично определяется и нижняя треугольная матрица.

Рис. 10 Симметричная матрица

Матрица A называется ортогональной, если

Матрица называется нормальной если

1.5. След и определитель

Следом квадратной матрицы A (обозначается Tr(A) или Sp(A)) называется сумма ее диагональных элементов,

Рис. 11 След матрицы

Можно показать, что

Другой важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det(A)). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда

Для матрицы (3×3) определитель будет равен

В случае матрицы (N×N) определитель вычисляется как сумма 1·2·3· . ·N = N! слагаемых, каждый из которых равен

Индексы k1, k2. kN определяются как всевозможные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2, . , N). Вычисление определителя матрицы — это сложная процедура, которую на практике осуществляется с помощью специальных программ. Например,

Рис. 12 Определитель матрицы

Отметим только очевидные свойства:

Если матрица состоит только из одного столбца (J = 1), то такой объект называется вектором. Точнее говоря, вектором-столбцом. Например

Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строки, например

Этот объект также является вектором, но вектором-строкой. При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами или строками. Так спектр, снятый для одного образца можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на какой-то длине волны для всех образцов нужно трактовать как вектор-столбец.

Размерностью вектора называется число его элементов.

Ясно, что всякий вектор-столбец можно превратить в вектор-строку транспонированием, т.е.

В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной буквой. Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается .

1.7. Простейшие операции с векторами

Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как это делается с матрицами. Например,

Рис. 13 Операции с векторами

Два вектора x и y называются колинеарными, если существует такое число α, что

1.8. Произведения векторов

Два вектора одинаковой размерности N можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = (x1, x2. xN) t и y = (y1, y2. yN) t . Руководствуясь правилом перемножения «строка на столбец», мы можем составить из них два произведения: x t y и xy t . Первое произведение

называется скалярным или внутренним. Его результат — это число. Для него также используется обозначение (x,y) = x t y. Например,

Рис. 14 Внутреннее (скалярное) произведение

называется внешним. Его результат — это матрица размерности (N×N). Например,

Рис. 15 Внешнее произведение

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.

1.9. Норма вектора

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом. Эта величина

определяет квадрат длины вектора x. Для обозначения длины (называемой также нормой вектора) используется обозначение

Рис. 16 Норма вектора

Векторы называются ортонормированными, если все они нормированы и попарно ортогональны.

1.10. Угол между векторами

Скалярное произведение определяет и угол φ между двумя векторами x и y

Если вектора ортогональны, то cosφ = 0 и φ = π/2, а если они колинеарны, то cosφ = 1 и φ = 0.

1.11. Векторное представление матрицы

Каждую матрицу A размера I×J можно представить как набор векторов

1.12. Линейно зависимые векторы

Векторы одинаковой размерности (N) можно складывать и умножать на число, также как матрицы. В результате получится вектор той же размерности. Пусть имеется несколько векторов одной размерности x1, x2. xK и столько же чисел α α1, α2. αK. Вектор

Если существуют такие ненулевые числа αk ≠ 0, k = 1. K, что y = , то такой набор векторов xk называется линейно зависимым. В противном случае векторы называются линейно независимыми. Например, векторы x1 = (2, 2) t и x2 = (−1, −1) t линейно зависимы, т.к. x1 +2x2 =

1.13. Ранг матрицы

Рассмотрим набор из K векторов x1, x2. xK размерности N. Рангом этой системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов. Например в наборе

имеются только два линейно независимых вектора, например x1 и x2, поэтому ее ранг равен 2.

Очевидно, что если векторов в наборе больше, чем их размерность (K>N), то они обязательно линейно зависимы.

Рангом матрицы (обозначается rank(A)) называется ранг системы векторов, из которых она состоит. Хотя любую матрицу можно представить двумя способами (векторы столбцы или строки), это не влияет на величину ранга, т.к.

1.14. Обратная матрица

Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A -1 , определяемую условиями

Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является

Обращение матрицы — это сложная процедура, для выполнения которой существуют специальные программы. Например,

Рис. 17 Обращение матрицы

Приведем формулы для простейшего случая — матрицы 2×2

1.15. Псевдообратная матрица

Если матрица A вырождена и обратная матрица не существует, то в некоторых случаях можно использовать псевдообратную матрицу, которая определяется как такая матрица A + , что

Псевдобратная матрица — не единственная и ее вид зависит от способа построения. Например для прямоугольной матрицы можно использовать метод Мура-Пенроуза.

Если число столбцов меньше числа строк, то

A + =(A t A) −1 A t

Рис. 1 7a Псевдообращение матрицы

Если же число столбцов больше числа строк, то

A + =A t (AA t ) −1

1.16. Умножение вектора на матрицу

Вектор x можно умножать на матрицу A подходящей размерности. При этом вектор-столбец умножается справа Ax, а вектор строка — слева x t A. Если размерность вектора J, а размерность матрицы I×J то в результате получится вектор размерности I. Например,

Читайте так же:  Доплата за интенсивность работы

Рис. 18 Умножение вектора на матрицу

Если матрица A — квадратная (I×I), то вектор y = Ax имеет ту же размерность, что и x. Очевидно, что

Поэтому матрицы можно рассматривать как линейные преобразования векторов. В частности Ix = x, Ox = .

2. Дополнительная информация

2.1. Системы линейных уравнений

Пусть A — матрица размером I×J, а b — вектор размерности J. Рассмотрим уравнение

относительно вектора x, размерности I. По сути — это система из I линейных уравнений с J неизвестными x1. xJ. Решение существует в том, и только в том случае, когда

где B — это расширенная матрица размерности I×(J+1), состоящая из матрицы A, дополненной столбцом b, B = (A b). В противном случае уравнения несовместны.

Если R = I = J, то решение единственно

Если R t Ay называется билинейной формой , определяемой матрицей A. При x = y выражение x t Ax называется квадратичной формой.

2.3. Положительно определенные матрицы

Квадратная матрица A называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x,

Аналогично определяются отрицательно (x t Ax t Ax ≥ 0) и неположительно (x t Ax ≤ 0) определенные матрицы.

2.4. Разложение Холецкого

Если симметричная матрица A положительно определена, то существует единственная треугольная матрица U с положительными элементами, для которой

Рис. 19 Разложение Холецкого

2.5. Полярное разложение

Пусть A — это невырожденная квадратная матрица размерности N×N. Тогда существует однозначное полярное представление

где S — это неотрицательная симметричная матрица, а R — это ортогональная матрица. Матрицы S и R могут быть определены явно:

Рис. 20 Полярное разложение

Если матрица A вырождена, то разложение не единственно — а именно: S по-прежнему одна, а вот R может быть много. Полярное разложение представляет матрицу A как комбинацию сжатия/растяжения S и поворота R.

2.6. Собственные векторы и собственные значения

Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A, если

где число λ называется собственным значением матрицы A. Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v, сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v — собственный вектор, то и αv — тоже собственный вектор.

2.7. Собственные значения

У матрицы A , размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению

являющемуся алгебраическим уравнением N-го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид

Рис. 21 Собственные значения

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная (A t = A), то ее собственные значения вещественны.

2.8. Собственные векторы

У матрицы A, размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора vn нужно решить систему однородных уравнений

Рис. 22 Собственные вектора

Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.

2.9. Эквивалентные и подобные матрицы

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности I×J эквивалентны, если существуют такие квадратные матрицы S, размерности I×I, и T, размерности J×J, что

Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности N×N подобны, если существует такая невырожденная матрица T, что

Матрица T называется преобразованием подобия.

Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, след, определитель и спектр.

2.10. Приведение матрицы к диагональному виду

Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —

Здесь Λ = diag(λ1. λN) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v1. vN).

Рис. 23 Приведение к диагональному виду

2.11. Разложение по сингулярным значениям (SVD)

.

Здесь PR — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами pr матрицы AA t , соответствующим R наибольшим собственным значениям λr;

DR = diag (σ1. σR) — положительно определенная диагональная матрица , элементами которой являются σ1≥. ≥σR≥0 — сингулярные значения матрицы A, равные квадратным корням из собственных значений матрицы A t A

Рис. 24 SVD разложение

2.12. Линейное пространство

Рассмотрим все возможные векторы размерности N. Это множество называется линейным пространством размерности N и обозначается R N . Так как в R N включены все возможные векторы, то любая линейная комбинация векторов из R N будет также принадлежать этому пространству.

2.13. Базис линейного пространства

Любой набор из N линейно независимых векторов называется базисом в пространстве R N . Простейший пример базиса — это набор векторов

Базис, составленный из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным, а если базисные вектора еще и нормированы, то этот базис называется ортонормированным.

2.14. Геометрическая интерпретация

Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе N-мерное пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный вектор x = (x1, x2. xN) t можно изобразить точкой в этом пространстве с координатами (x1, x2. xN).

Рис. 25 Координатное пространство

2.15. Множественность базисов

В линейном пространстве могут быть неограниченное число базисов. Так, в пространстве R 3 помимо обычного ортонормированного базиса

можно установить и другой ортонормированный базис, например

Каждый базис можно представить матрицей B = (b1. bN), составленной из базисных векторов. Переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной квадратной матрицы T, т.е. B2 = TB1.

2.16. Подпространство

Пусть имеется набор из K линейно независимых векторов x1, x2. xK в пространстве R N . Рассмотрим все возможные линейные комбинации этих векторов

О получившимся множестве Q говорят, что оно является линейной оболочкой или что оно натянуто на векторы x1, x2. xK. По определению линейного пространства это множество Q само является линейным пространством размерности K. При этом оно принадлежит пространству R N , поэтому Q называется линейным подпространством R K в пространстве R N .

2.17. Проекция на подпространство

Рассмотрим подпространство R K , натянутое на векторы X = (x1, x2. xK) в пространстве R N . Матрица базиса X имеет размерность (N×K). Любой вектор y из R N может быть спроецирован на подпространство R K , т.е. представлен в виде

Рис. 26 Проекция на подпространство

Проекцию y || можно представить как результат действия проекционной матрицы P

Проекционная матрица определяется как

Рис. 27 Проекционное разложение

Матричные методы активно используются при анализе данных, в том числе и хемометрическими методами.

Пособие по матрицам

МАТРИЦА позволяет

  • решать все задачи стандартного курса линейной алгебры,
  • выполнять действия с матрицами,
  • решать численно основные задачи линейной алгебры и представлять их результаты в матричной форме,
  • конструировать алгоритмы решения основных задач линейной алгебры.

МАТРИЦА позволяет сократить время изучения курса, глубже исследовать проблемы, решить существенно большее, чем при традиционных формах изучения курса, количество задач.

Действия с матрицами

МАТРИЦА позволяет

  • вводить произвольные матрицы, элементами которых являются действительные числа или значения арифметических выражений;
  • увидеть на экране все введенные матрицы в естественной форме;
  • выполнять все арифметические действия с матрицами;
  • транспонировать матрицы;
  • выполнять элементарные преобразования матриц;
  • нумеровать строки и столбцы матрицы, оперировать с минорами;
  • находить характеристический многочлен и его корни;
  • выполнять все операции с заданным числом значащих цифр;
  • вызывать ранее определенные матрицы из файла для просмотра или для дальнейшего исследования;
  • сохранять в файле и печатать все определенные матрицы.
Читайте так же:  Можно ли вернуть обувь без гарантии

Вычислительные возможности

МАТРИЦА позволяет одним нажатием клавиши:

  • решать численно линейные системы;
  • вычислять определитель матрицы;
  • выполнять сингулярное разложение матрицы;
  • вычислять собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы;
  • численно интегрировать, вычислять значения многих специальных функций и т.п.
  • сохранять определенные матрицы и результаты вычислений в файле и печатать их.

Области применения пакета МАТРИЦА

МАТРИЦА поможет при

  • решении всех стандартных задач курса линейной алгебры;
  • решении прикладных задач;
  • модернизации учебных курсов;
  • подготовке ярких иллюстраций для лекционных и практических курсов.

МАТРИЦА будет полезна

  • студентам изучающим линейную алгебру;
  • студентам, изучающим специальные дисциплины (для выполнения соответствующих вычислений);
  • преподавателям математики в вузе;

МАТРИЦА обеспечивает эффективную компьютерную поддержку следующих разделов стандартного курса линейной алгебры:

  • матричная алгебра;
  • обратная матрица и методы ее вычисления;
  • определители;
  • линейная зависимость и независимость систем векторов;
  • базис и размерность линейного пространства;
  • образ, ранг, ядро, дефект матрицы;
  • элементарная теория линейных опрераторов;
  • базис в образе и вядре оператора;
  • исследование систем линейных уравнений;
  • преобразование координат ветора и матриц при замене базиса;
  • ортогональные преобразования;
  • собственные значения и собственные векторы линейного оператора;
  • билинейные и квадратичные формы;
  • обусловленность матрицы;
  • численные методы линейной алгебры.

МАТРИЦА имеет методическое сопровождение, включающее описание методов решения всех перечисленных выше задач.

По сравнению с универсальными математическими пакетами МАТРИЦА

  • компактна,
  • значительно проще в работе (большинство операций выполняется одним нажатием клавиши),
  • не требует специального изучения,
  • использует более естественную для линейной алгебры форму записи и представления результатов, предъявляет минимальные требования к ресурсам компьютера.

Архив МАТРИЦЫ (277 Кб)

Загрузка программы производится из любой директории запуском файла matrix.exe, который находится в директории MATRIX.

Для запуска демо-ролика, иллюстрирующего возможности пакета, нужно запустить файл rolik.exe, находящийся в директории ROL.

Учебный математический пакет МАТРИЦА. Руководство пользователя

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Москва. 1996

Предлагаемое пособие содержит описание возможностей и правил работы с учебным математическим пакетом МАТРИЦА.

Пакет МАТРИЦА — предметно ориентированная среда, учебный пакет, предназначенный для компьютерной поддержки изучения линейной алгебры. Программа позволяет решать практически все задачи стандартного курса линейной алгебры, позволяет изучить основные алгоритмы численных методов линейной алгебры.
Ввод условий и представление результатов вычислений реализованы в общепринятой математической записи.
По сравнению с универсальными математическими пакетами МАТРИЦА значительно проще в освоении и в работе, предъявляет минимальные требования к ресурсам компьютера. Программа работает в среде MS DOS на IBM совместимых компьютерах.

Предназначено для студентов, инженеров, научных работников.

Архив Руководства пользователя (164 Кб, TeX-файлы)

  1. Общие правила работы с программой
    1. Запуск программы
    2. Управление работой программы
    3. Выбрать экранную кнопку
    4. Нажать экранную кнопку
    5. Войти в режим
    6. Получить справку
    7. Выйти из программы
    8. Начать работу с МАТРИЦЕЙ
    9. Основные режимы программы МАТРИЦА
  2. Справка
    1. Общие правила работы в режиме Справки
    2. Чтение текста справки
    3. Управление текстом справки с клавиатуры
    4. Управление текстом справки мышью
    5. Чтение оглавления
  3. Ввести
    1. Ввод размеров и имени матрицы
    2. Ввод элементов матрицы
    3. Копирование матрицы
      1. Откуда копировать
      2. Куда копировать
  4. Список
    1. Удаление матрицы
    2. Вывод на принтер и в файл
  5. Уточнить
    1. Просмотр уточненного значения
  6. Элементарные преобразования
    1. Перестановка двух строк
    2. Перестановка двух столбцов
    3. Умножение строки на число
    4. Умножение столбца на число
    5. Прибавление к строке строки, умноженной на число
    6. Прибавление к столбцу столбца, умноженного на число
    7. Ввод числового коэффициента
    8. Округление
  7. Алгебраические операции
  8. Вычисление миноров матрицы
  9. Режим приближенных вычислений
    1. Вычисление обратной матрицы
    2. Решение системы линейных уравнений
    3. Сингулярное разложение
    4. Спектр симметричной матрицы
    5. Результат вычисления спектра
  10. Состояние
    1. Чтение состояния с диска
    2. Запись состояния на диск
  11. Калькулятор
  12. Алгебраические выражения
  13. Математические функции
    1. Элементарные функции
    2. Специальные функции

  1. Методические указания по курсу «Линейная алгебра». Математика на компьютере. Действия с матрицами
    Сливина Н.А., МЭИ (ТУ). 1995.
    Предлагаемое учебное пособие содержит два вводных занятия по линейной алгебре с использованием учебного математического пакета МАТРИЦА. Каждое занятие содержит необходимые теоретические сведения, подробно разобранный пример решения стандартной задачи с помощью пакета, задания для решения в аудитории, вопросы к заданиям, домашнее задание.
    Предназначено для студентов, аспирантов, инженеров, научных сотрудников.

Архив Методических указаний (50 Кб, TeX-файлы)

Другие статьи:

  • Приказ от 29082019 80 Приказ МВД РФ от 29 января 2008 г. N 80 "Вопросы организации деятельности строевых подразделений патрульно-постовой службы полиции" (с изменениями и дополнениями) Информация об изменениях: Приказом МВД России от 11 марта 2012 г. N 160 в настоящий приказ внесены […]
  • Приказ 218 фз Федеральный закон от 13 июля 2015 г. N 218-ФЗ "О государственной регистрации недвижимости" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 13 июля 2015 г. N 218-ФЗ"О государственной регистрации недвижимости" С изменениями и дополнениями от: 30 декабря 2015 […]
  • Обслуживание компьютерной сети договор Обслуживание компьютерной сети договор Для юридических лиц ДОГОВОР № ____ г. Екатеринбург «____» __________ 2013г. ___________________ именуемое далее по тексту «ЗАКАЗЧИК», в лице директора _________________________________________, действующего на основании […]
  • Льготы в калужской области Меры социальной поддержки и льготы в Калуге и Калужской области в 2019 году Социальная поддержка в регионах Меры социальной поддержки и льготы в Калуге и Калужской области в 2019 году Меры социальной поддержки, предоставляемые уполномоченным органом в сфере […]
  • Закон прав потребителей возврат товара ненадлежащего качества Товар ненадлежащего качества - ЗАКОНЫ РФ РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ О ЗАЩИТЕ ПРАВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ (с изменениями и дополнениями от 2 июня 1993 г., 9 января 1996 г., 17 декабря 1999 г., 30 декабря 2001 г., 22 августа, 2 ноября, 21 декабря 2004 г., 27 июля, 16 октября, 25 […]
  • Федеральный закон от 18122006 231 фз Федеральный закон от 18122006 231 фз от 18 декабря 2006 № 231 "О введении в действие части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации" Одобрен Советом Федерации 8 декабря 2006 года Опубликован: Российская газета, № 289, 22 декабря 2006 г. Вступил в силу […]
  • 6 арбитражный апелляционный суд Четвертый арбитражный апелляционный суд Арбитражные суды Правовые основы Информационное письмо от 14 апреля 2009 года № 128 от 30 декабря 2001 г. № 197-ФЗ Указ Президента РФ от 19 мая 2008 года № 815 от 25 декабря 2012 года № 178 Указ Президента РФ от 21 сентября […]